После окончания средней школы Сагат поступил в театральную студию при Казахском драмтеатре им. Мухтара Ауэзова. А уже в 1977 г. он был зачислен на отделение актёрского мастерства в государственную консерваторию Казахской ССР. В том же году начинающий актёр приступил к работе в Алма-Атинском ТЮЗ, которую совмещал с игрой в драмтеатре Талды-Кургана.

Признание актёр получил после роли в постановке Габита Мусрепова «Кыз Жибек» по мотивам казахского народного эпоса, а позже он был задействован в постановках: «Алтын ажал», «Улпан», «Ен адеми келиншек», «Ахан-Сере и Актокты» и др.

Последнее время Сагат Жылгелдиев снимается в художественных фильмах. Среди популярных телесериалов с его участием можно выделить такие ленты как «Шалғайдағы оқиға», «Арман жолында», «Әке борышы». Вместе со своей женой Сагат снялся в кинофильме известного режиссёра Еркебулана Жолдасова «Жениться за 72 часа».